民科自测卷（纯数学卷）¶

注

此份试卷主要用于自测对于数学基础知识的熟悉程度。如果自测者分数不达标，则原则上可认为其尚不具备任何研究数学的基本能力，是民科的可能性比较大，从而建议其放弃数学研究。测试达标为60分，满分100分。测试应闭卷完成。测试时间不限。

初等部分（20分）¶

设有一个底面半径为 \(r\)，高为 \(a\) 的球缺。现有一个垂直于其底面的平面将其分成两个部分，这个平面与球缺底面圆心的距离为 \(h\)。请用二重积分求出球缺被平面所截较小那块图形的体积。（3分）
已知 Zeta 函数\(\zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\). 请问双曲余切函数 coth的泰勒展开式系数和 \(\zeta(2n)\)有什么关系？其中 \(n\) 是正整数。（3分）
求 \(n\) 阶Hilbert矩阵 \(\mathbf{H}\) 的行列式，其中 \(H_{i,j}=\frac{1}{i+j-1}\). （4分）
叙述拓扑空间紧与序列紧的定义，在什么条件下这两者等价？并给出一个在不满足此条件下两者并不等价的例子。（3分）
对实数 \(t\)，求极限 \(\lim_{A\rightarrow \infty}\int_{-A}^A(\frac{\sin x}{x})^2e^{itx}\text{d}x\). （3分）
阶为 \(pq,p^2q,p^2q^2\)的群能否成为单群，证明你的结论。（4分）

叙述 Sobolev嵌入定理，并给出证明。（5分）
李代数 \(so(3)\) 和 \(su(2)\) 之间有什么关系？证明你的结论。（5分）
亏格为2的曲面被称为双环面，其可以看作是两个环面的连通和。请计算双环面 \(T^1\sharp T^2\)除去两点的同调群。（5分）
证明对于半单环 \(R\)，我们有 \(R\cong Mat_{n_1}(\Delta_1)\times\cdots\times Mat_{n_k}(\Delta_k)\)，其中 \(\Delta_k\) 是除环。（5分）
证明Dedekind环是UFD当且仅当它是PID。（5分）
给出概复结构和复结构的定义，并给出例子说明有概复结构的流形不一定有复结构。（5分）
给定光滑曲面 \(M\) 上的一点 \(P\)，假设以 \(P\) 为中心， \(r\) 为半径的测地圆周长为 \(C(r)\)。求曲面在点 \(P\) 的高斯曲率 \(K(P)\). （5分）
证明 \(n\) 维向量空间 \(V\) 的正交群 \(O(V)\) 的每一个元素都可以看作不超过 \(n\) 个反射变换的积。（5分）