皮亚诺公理¶
皮亚诺公理（文字说明）
- PA1： 1是自然数。
- PA2： 对于任意自然数 \(n\)，其后继数 \(n'\) 都是自然数。
- PA3：对于任意自然数 \(n\)，\(n'\not=1\)都成立。
- PA4：对于任意自然数 \(m,n\)，若\(m'=n'\)，则 \(m=n\)。
- PA5：假设对自然数 \(n\) 的谓词 \(P(n)\) 而言，下面的(a)和(b)都成立。
(a) P(1)
(b) 对于任意自然数 \(k\)，\(P(k)\)成立，则\(P(k')\)成立。
此时，对于任意自然数 \(n\)，\(P(n)\)都成立。
皮亚诺公理（逻辑公式）
- PA1： \(1\in\mathbb{N}\)
- PA2： \(\forall n\in\mathbb{N}[n'\in\mathbb{N}]\)
- PA3：\(\forall n\in\mathbb{N}[n'\not=1]\)
- PA4：\(\forall m,n\in\mathbb{N} [m'=n'\Rightarrow m=n]\)
- PA5：\((P(1)\wedge \forall k\in\mathbb{N}[P(k)\Rightarrow P(k')])\Rightarrow \forall n\in\mathbb{N} [P(n)]\)
皮亚诺公理定义了自然数。更深层次地，皮亚诺公理定义了一种数学结构，这种数学结构由无数个元素组成，无数个元素排列成一条序列的形状，每个元素后面都有且只有一个元素。在计算机科学中，这样的结构常常称为链表，更具体地，是单向无穷链表。单向指只有前一项指向后一项，没有后一项指向前一项。无穷指这个链表只有头，没有尾，包含无穷项。
皮亚诺公理通过5条性质，定义出了自然数这一数学基本结构。下面我们分别分析一下这5条性质。
PA1¶
PA1： \(1\in\mathbb{N}\)
PA1明确了自然数集合 \(\mathbb{N}\)包含 \(1\) 这个元素，粉碎了 \(\mathbb{N}\) 是空集的可能。
PA2¶
PA2： \(\forall n\in\mathbb{N}[n'\in\mathbb{N}]\)
PA2使用了后继的概念，称 \(n'\) 是 \(n\) 的后继。后继只作用于一个元素上，这是与加法的本质不同。加法作用与两个元素上，如 \(a+b\)，是将加法作用在 \(a\) 和 \(b\) 上。这里使用后继而没有使用加法，原因是后继更本质。倘若从加法定义，如\(\forall a,b\in\mathbb{N}[a+b\in\mathbb{N}]\)，那么就暗含了 \(a\) 和 \(b\) 之间有某种关系，它们一起可以产生另一个自然数。这对于自然数是没有必要的，每个自然数可以只由另一个自然数产生。另一方面，若 \(a,b,c,d\in\mathbb{N}\)，\(e=a+b,f=c+d\)，判断 \(e\) 和 \(f\) 是否相同也是一件麻烦事。所以PA2选择了后继这个操作来产生新的自然数。
PA3¶
PA3： \(\forall n\in\mathbb{N}[n'\not=1]\)
PA3回答了为什么后继操作能产生新的自然数。目前 \(1\in\mathbb{N}\)，根据PA3有 \(1'\not=1\)，即 \(1'\)和 \(1\) 不同。根据PA2，有\(1'\in\mathbb{N}\)。这样 \(\mathbb{N}\)中有了两个元素。那么 \(1''\) 和 \(1'\) 是否相同呢？这是PA4需要回答的问题。
另外，PA3说明了 \(1\)前面没有自然数。从而 \(1\)可以看成是构造自然数的一个起点。那么还有没有其他起点？同样PA4回答了这个问题。
PA4¶
PA4： \(\forall m,n\in\mathbb{N} [m'=n'\Rightarrow m=n]\)
假设 \(1''=1'\)，则根据PA4有\(1'=1\)，与PA3矛盾。故\(1''\not=1'\)。
实际上，我们可以得到 \(\underbrace{1^{'\cdots'}}_{m个'}\not=\underbrace{1^{'\cdots'}}_{n个'}\)，若 \(m\not=n\)。
更为重要的，PA4明确了各个元素组成链的结构，而没有环和交叉。如 \(a,b,c,d\in\mathbb{N}\)，且互不相同，则不可能 \(a\rightarrow b\rightarrow\cdots\rightarrow a\)，也不可能 \(a\rightarrow b\rightarrow d,c\rightarrow d\)等等。这样我们就知道只有 \(1\)一个起点。
注意PA4只说明了 \(m'=n'\Rightarrow m=n\)，而没有说 \(m'=n'\Leftarrow m=n\)。主要原因是后者没有必要成立。
PA5¶
PA5： \((P(1)\wedge \forall k\in\mathbb{N}[P(k)\Rightarrow P(k')])\Rightarrow \forall n\in\mathbb{N} [P(n)]\)
PA5是数学归纳法。最耐人寻味的是，皮亚诺公理将数学归纳法包含进来，意思是数学归纳法作为一个公理不需要怀疑，同时也暗示着数学归纳法和自然数的本质有关。