超穷数理论¶

Quote

Hypothesis non fingo.
Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tanquam scribe fideles ab ipsius nature voce lates et prolatas excipimus et desribimus.
Veniet tempus, quo ista que nunc latent, in lucem dies extrabat et longioris avi dligentia.

奥尔格·康托在1895年和1897年《数学年鉴》上发表了两篇重要论文，题为“$Beitr\ddot{a}ge$ $zur$ $Begr\ddot{u}ndung$ $der$ $transfiniten$ $Mengenleche$”。这是康托二十多年关于超穷数理论研究的最后总结。中译名为《超穷数理论基础》。

势或基数的概念¶

在康托的论文中，势和基数是同一个概念，只不过称呼不同。势这个概念在高中就有所接触，那时定义势为集合中元素的个数。比如集合 $M$ 中有 $a,b,c$ 三个互不相同的元素，则我们称 $M$ 的势是3. 然而这样的定义是有严重问题的，我们并不知道3是什么。具体而言，康托建立的超穷数理论并没有建立在自然数理论上，所以不应该出现自然数。康托阐述势的概念如下：

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我们用 $M$ 的“势”或“基数”来命名这样一个一般概念，它由我们的下述思维活动所产生，即设想从集合 $M$ 中抽象掉其中所有元素 $m$ 的具体性质及其给定的序关系后还余下的东西。

我们用 $$ \overline{\overline{M}} $$ 表示作为这二重抽象结果的 $M$ 的势或基数。

首先势 $\overline{\overline{M}}$ 仍然是一个集合，其中的每个元素没有具体性质，并且没有序关系。

两个集合 $M,N$ 是等价的，用 $M\sim N$表示，如果按照某种法则，$M,N$ 之间能够建立起一一对应的关系。

有基本定理：两个集合 $M$ 和 $N$ 有相同的基数当且仅当它们等价。